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Mensagem

 Depois de um ano de trabalho é natural que estejam cansados, mas devem pensar que falta pouco e o futuro depende do vosso desempenho nestes exames.

   O que devem fazer:

   1. Organizarem-se: não é porque deixam de ter aulas que devem trocar os vossos horários e passar a estudar ao fim do dia e dormir durante a manhã. Mantenham a vossa rotina de acordar cedo e estudem durante a manhã, quando a cabeça ainda está fresca. Revejam a matéria que deram neste ano e nos anos anteriores, pois, sendo o exame de ciclo, pode sempre sair algum conteúdo que foi mais trabalhado nos anos anteriores. Façam resumos por capítulos ou temas. 

   2. Descansar o tempo necessário: não fiquem até tarde a ver televisão. Está provado que o nosso rendimento e as nossas capacidades cognitivas são mais aproveitadas se tivermos descansado e tido uma boa noite de sono. Durante a vossa manhã ou tarde de estudo devem de hora a hora fazer uma pequena pausa de, no máximo, 10 minutos. Muitas vezes só conseguimos resolver alguns exercícios e problemas depois de termos deixado de pensar neles por uns breves minutos e voltar a olhá-los com outros olhos.

   3. Praticar bastante: em matemática há alguns conceitos que requerem muito treino. Precisam testar se cometem algum erro, ou se repetem algum tipo de raciocínio que não é o mais correto (e devem depois avaliar isso mesmo: porque errei?; estava distraído/a; não copiei os dados corretamente?; faltou-me relacionar algum conceito?; não consegui interpretar a informação que me era dada no enunciado?). Só com o treino é que serão capazes de fazer uma avaliação correta do vosso conhecimento. O treino é muito importante em matemática, porque dá a confiança necessária para reduzir a ansiedade que geralmente se tem antes de qualquer teste e/ou exame. No entanto, não devem cair no erro de só fazer um tipo de exercícios e problemas. O treino requer também uma variedade/diversidade de exercícios e problemas. Cada vez mais surgem problemas e questões em exames que requerem que os alunos saibam mobilizar vários conteúdos ao mesmo tempo. Só estarão preparados para isso se treinarem.

   4. Simular um exame: quer tenham feito ou não em contexto escolar uma simulação de exame, devem ver os exames dos anos anteriores. Depois de terem estudado, de terem treinado e de terem feito muitos exercícios e problemas, devem fazer uma simulação de um exame, isto é, devem realizar um exame no tempo definido. Findo esse tempo façam uma avaliação: vejam os critérios de correção, verifiquem onde falharam, o que falharam e porque falharam.

    Desejo a todos uma excelente época de exames e muito sucesso.

Ficha 5

Ficha 5

Números Primos

Números primos
Publicado por Alexandra Bastos

A história de Pi

José Anastácio de Cunha

   Matemático e poeta português, nasceu em 1744, em Lisboa, e morreu, na mesma cidade, a 1 de janeiro de 1787. Oriundo de uma família humilde lisboeta, filho de Lourenço da Cunha, pintor, e de Jacinta Ignes, estudou na Congregação do Oratório, não tendo, nesta altura, aprendido muito sobre matemática ou física; a respeito destas áreas tornaram-se, mais tarde, alvo da sua dedicação e estudo. 

   Foi o autor de Princípios Matemáticos, uma obra que, editada postumamente, em 1790, demonstra, com rigor, as leis que regem o cálculo matemático, para além de incluir o estudo de princípios relacionados com geometria e álgebra.

   Notado por vasta cultura científica e literária, Anastácio da Cunha foi nomeado, em 1773, lente de Geometria na Universidade de Coimbra, tendo publicado vários estudos nas áreas da Matemática e da Mecânica.

Triângulo de fósforos

   O triângulo tem 12 fósforos. Move 3 fósforos de modo a que se reduza a área para 2/3 da área original.

Solução

Problema de Lógica

Qual é o próximo número da sequência ?

                                  

 2,10,12,16,17,18,19...

Solução

Um estranho número primo

O número primo 73939133 tem uma propriedade muito estranha. Se removermos os dígitos do final, os números obtidos também são primos. Observa: 73939133 é um número primo 7393913 é um número primo 739391 é um número primo 73939 é um número primo 7393 é um número primo 739 é um número primo 73 é um número primo 7 é um número primo

Quem inventou a trigonometria?

   A trigonometria não é obra de um só homem ou nação. A sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes civilizações. 

 Percebe-se que, desde os tempos de Hiparco até aos tempos modernos, não havia "razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos usaram linhas trigonométricas. Essas linhas primeiro tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas, ou senos. 

 Depois, essas cordas e linhas de senos seriam associadas a valores numéricos, possivelmente aproximações, e listados em tabelas trigonométricas.

A origem do grau

  No ano de 4000 a.C., os egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol levava 360 dias para completar a órbita de uma volta em torno da Terra. Assim, cada dia o Sol percorria um pouco dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência da sua órbita. Esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau.

  Então, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Porém, hoje sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

Nós somos primos!

Ficha 4

Ficha 4

Ficha 3

Ficha 3

Amigo Imaginário

Números com 4 algarismos

   Todos os números formados por 4 algarismos consecutivos do número 4712546, respeitando a ordem, são múltiplos de 19.

    Exemplo: 4712 = 248 x 19

Simba & AL

Os exercícios do teste

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Pensamento

“Se tivesse só mais um dia de vida, escolheria passá-lo numa aula de matemática. Nunca mais acaba!”

Simba & AL

Problema

  Três amigos foram comer a um restaurante e no final a conta deu 30€.
  Resolveram dividir a conta e cada um deu 10 Euros...
  10 + 10 + 10= 30. Certo?
  Quando o empregado levava o dinheiro para a caixa, o dono do restaurante disse-lhe:
  - Estes três senhores são clientes antigos do restaurante, por isso vou fazer-lhes um desconto de 5 €.
  Dito isto entregou ao empregado cinco moedas de 1 € para devolver aos clientes.
 O empregado, muito esperto, fez o seguinte: ficou com 2 € para ele e devolveu 1 € a cada um dos clientes.
  No final ficou assim:
Cliente 1: 10 € (-1 € que foi devolvido) = gastou 9 €.
Cliente 2: 10 € (-1 € que foi devolvido) = gastou 9 €.
Cliente 3: 10 € (-1 € que foi devolvido) = gastou 9 €.
  Então, se cada um gastou 9 €, todos juntos gastaram 27 €. E se o empregado guardou 2 € para ele, temos:
   Clientes: 27 €
   Empregado: 2 €
   TOTAL: 29 €

  - Onde foi parar a outra moeda de 1 €?

Simba & AL

Os meus cálculos...

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Um raio, dois raios...

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Girard

   Albert Girard nasceu em 1595 em St. Mihiel (França) e morreu no dia 8 de Dezembro de 1632 em Leiden (Holanda). Era francês, mas emigrou como refugiado religioso para a Holanda. Frequentou pela primeira vez a Universidade de Leiden, aos 22 anos, onde estudou Matemática. Porém, seu primeiro interesse foi a música. 

   Trabalhou em álgebra, trigonometria e aritmética. Em 1626 publicou um tratado sobre trigonometria contendo as primeiras abreviaturas sen, cos, tag. Também forneceu fórmulas para o cálculo da área do triângulo. Em álgebra, desenvolveu esboços do Teorema fundamental da álgebra. 

   É também famoso por ser o primeiro a formular fn+2 = fn+1 + fn, que é a definição da sucessão de Fibonacci.

 Girard, em 1629, escreveu Invention nouvelle en l'algèbre, demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias.

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Descobertas geométricas de Tales de Mileto

  Tales de Mileto: descobertas geométricas:

- Os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais;

- Todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;

- Ao unir qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro [AB] obtém-se um triângulo retângulo em C; 

- A soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;

- Se duas retas se "cortam", então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Os Alentejanos

Humor matemático

Ficha 2

Ficha 2

Ângulos

   As retas a e b são paralelas. 

   Quanto mede o ângulo î? 

   Comenta o resultado.

                                                    

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Matemático numa viagem de avião

  Porque é que um matemático viaja sempre com uma meia preta e outra cor de rosa?

  Porque a probabilidade de uma avião cair com um matemático usando meias de cores diferentes é muito pequena.

Maior número primo de Fermat

   O recorde do maior número primo de Fermat conhecido é o seguinte: 16717632768+1, que tem 171153 dígitos e foi descoberto por Yves Gallot (este é o oitavo maior número primo conhecido atualmente).

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

O matemático e o motorista

   Um matemático estava a caminho de uma conferência, quando o seu motorista comentou:
- Patrão, já ouvi tantas vezes a sua palestra que tenho certeza de que poderia fazê-la no seu lugar.
- Isso é impossível!
- Quer apostar?!
   E fizeram a aposta! Trocaram de roupa e, quando chegaram ao local da conferência, o motorista foi para a tribuna enquanto o matemático se instalou na última fila, como se fosse o seu motorista.
   Depois da palestra, começou a sessão de perguntas, que ele respondeu com precisão.

   No final, levantou-se um sujeito que apresentou uma questão dificílima. Com muita calma, ele respondeu:
- Meu jovem, essa pergunta é tão fácil... mas, tão fácil... que vou pedir para o meu motorista responder!

Ficha 3

Ficha 3

Data histórica: 20/02/2002

   Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milénio.

    Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

   É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

   A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). 

    Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 

   Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Números triangulares

Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. 

Porque:

                                                     

Os números triangulares podem ser calculados através de duas fórmulas: a iterativa e a recursiva:

Fórmula iterativa

T(n) = 1+2+3+...+n

Fórmula recursiva

T(1) = 1

T(n+1) = T(n)+(n+1)

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Humor matemático

Números regulares

Um número é dito regular se a sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

Exemplo:

60 é um número regular, pois 60= 2²x3x5

Uma curiosidade com 3 algarismos

Escolhe um número de três algarismos:

ex: 748

Repete este número na frente do mesmo:

748748

Divide-o por 13:

748748/13 = 57596

Agora divide o resultado por 11:

57596/11 = 5236

Divide novamente o resultado, mas por 7:

5236/7 = 748

Como podes ver vai dar exatamente o mesmo resultado do inicio.

O cavalo e o burro

Problema:

''Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um cargas bastante pesadas.

  Lamentava-se o cavalo do seu pesado fardo, ao que o interrompeu o burro:

  - De que te queixas ?

  - Se eu ficasse com um dos teus sacos, a minha carga passaria a ser o dobro da tua . 

  - Por outro lado, se eu te desse um saco, a tua carga igualaria a minha.

    Quantos sacos levavam o cavalo e o burro?''

Sugestão:

Resolve o sistema e diz o teu resultado nos comentários.

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Humor matemático

Duas loiras conversam:

- Sabes quem eu vi?

- Quem?

- O meu professor de Matemática.

- E gostavas dele?

- Gostava, mas um dia por causa dele estraguei as minhas unhas numa árvore! 

- Então porquê?

- Porque mandou-me encontrar a raiz quadrada.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Quadrados perfeitos e suas raizes

   Os pares de quadrados perfeitos: 144 e 441, 169 e 961, 14884 e 48841 e as suas respetivas raízes:12 e 21, 13 e 31, 122 e 221, são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa.

   O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade. Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla:

                   1238769 e 9678321 sendo as suas raízes 1113 e 3111.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Números Capicua

   Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. 

   Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, tantas vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo: 84

                84+48=132;132+231=363, que é um número capicua. 

Como ainda os números: 

Anti-Viadutas <3+Viaduto<3

Eudoxo de Cnido

   Eudoxo de Cnido foi um astrónomo, matemático e filósofo grego. 

   Nasceu em 408 a.C e faleceu em 355 a.C. 

   Eudoxo é considerado como o maior dos matemáticos gregos clássicos. Ele desenvolveu o Método da exaustão de Antífona, um precursor do cálculo integral.

   Na aplicação do método, Eudoxo provou afirmações matemáticas, tais como: as áreas dos círculos estão relacionadas entre si como os quadrados dos seus raios; os volumes das esferas estão relacionados entre si como os cubos dos seus raios; o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura; o volume de um cone é um terço da base do seu cilindro correspondente.

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A teoria do 11

New York City tem 11 letras.

Afeganistão tem 11 letras.

‘The Pentagon’ tem 11 letras.

Coincidência? O interessante é que...

- Nova Iorque é o estado n.º 11 dos EUA.

- O primeiro dos vôos que embateu contra as Torres Gémeas era o n.º 11.

- O voo n.º 11 levava a bordo 92 passageiros; somando os algarismos dá: 9+2=11. 

- O outro voo que bateu contra as Torres, levava a bordo 65 passageiros; somando os algarismos dá: 6+5=11. 

- A tragédia teve lugar a 11 de setembro, ou seja, 11 do 9; somando os algarismos dá: 1+1+9=11.

- As vítimas totais que faleceram nos aviões são 254: 2+5+4=11.

- A partir do 11 de setembro sobram 111 dias até ao fim de um ano.

- O atentado de Madrid aconteceu 911 dias depois do de New York; somando os algarismos dá: 9+1+1=11.

Será mesmo coincidência?
Pelo grupo:

Ficha 2

Ficha 2                                                               
                                             
                                                                         

O número 12345679

   Se multiplicarmos o número 12345679 por qualquer múltiplo de 9, entre 9 e 81 (inclusive), iremos obter um produto cujo algarismo que se repete é o próprio multiplicador dividido por 9. 

12345679 x 9 = 111.111.111 (9 / 9 = 1)

12345679 x 18 = 222.222.222 (18 / 9 = 2)

12345679 x 27 = 333.333.333 (27 / 9 = 3)

12345679 x 36 = 444.444.444 (36 / 9 = 4)

12345679 x 45 = 555.555.555 (45 / 9 = 5)

12345679 x 54 = 666.666.666 (54 / 9 = 6)

12345679 x 63 = 777.777.777 (63 / 9 = 7)

12345679 x 72 = 888.888.888 (72 / 9 = 8)

12345679 x 81 = 999.999.999 (81 / 9 = 9)

Cayley

   Arthur Cayley (Richmond, 16 de agosto de 1821 - Cambridge, 26 de janeiro de 1895) foi um matemático britânico.
   Desde cedo demonstrou um grande gosto e habilidade em cálculo numérico; Cayley resolvia complexos problemas de matemática por diversão.
  Aos 17 anos entrou no Trinity College, Cambridge, quando se destacou em grego, francês, alemão e italiano; tão bem quanto em matemática.
  Aos 20 anos Cayley contribuiu com três artigos referentes aos temas Mécanique analytique de Lagrange e a alguns dos trabalhos de Laplace para o Jornal de Matemática de Cambridge criado por Gregory e Robert Leslie Ellis.
   Foi Professor Sadleiriano de Matemática Pura na Universidade de Cambridge, entre 1863 e 1895.
  As suas contribuições incluem a multiplicação de matrizes e o teorema de Cayley. Ajudou também a desenvolver o Teorema de Cayley-Hamilton.
   Foi o primeiro a definir o conceito de conjunto de forma moderna.  

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

D'Alembert

                                              

  Matemático e filósofo francês, Jean Le Rond d'Alembert nasceu em 1717, em Paris, e morreu em 1783, na mesma cidade.
  Com doze anos frequentou o colégio das Quatro Nações, causando admiração aos mestres pela sua facilidade na especulação filosófica. Recusou dedicar-se à Teologia e preferiu estudar Direito. Descobriu depois a sua vocação para a matemática.
   Em 1739 ingressou na Academia das Ciências. Dois anos depois foi nomeado adjunto na secção de astronomia. Foi nomeado geómetra associado em 1746 e titular em 1765. 

  Em 1752 estabeleceu equações acerca do movimento dos fluidos. Descobriu a solução de uma equação de derivadas parciais e propôs um método de resolução de sistemas de equações diferenciais. As pesquisas no campo da mecânica e da astronomia representaram um contributo fundamental para o avanço da ciência. 

   Teve um papel fundamental na difusão das novas ideias sem, no entanto, mostrar qualquer agressividade na sua exposição. Fiel ao seu apego a uma determinada atitude mental, foi este o espírito que utilizou na sua colaboração no projeto da Enciclopédia, dirigida por Denis Diderot. Ali D'Alembert não se limitou a escrever e a rever os artigos sobre matemática, como também redigiu o discurso preliminar e o prefácio. O projeto da Enciclopédia contou também com a colaboração de Voltaire e Montesquieu.                                             

Euler

  Nascimento: 15 de abril de 1707 , Basileia.

  Morte: 18 de setembro de 1783 , São Petersburgo. 

  Leonhard Euler revolucionou quase toda a Matemática no século XVIII. Escreveu quase 800 livros com várias informações que seriam estudadas no futuro, como por exemplo, a teoria dos grafos que possibilitou o aparecimento da topologia e revolucionou também o cálculo e as funções, ao resolver um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Konigsberg, antiga Prússia. 

  Euler ficou cego aos 50 anos e os seus textos passaram a ser produzidos pelo seu filho enquanto Euler os ditava. Muitos Matemáticos avaliam que o seu trabalho ficou muito melhor após a perda da sua visão. 

 O matemático François Arago elogiou o trabalho de Euler dizendo que este calculava sem qualquer esforço: "como os Homens respiram e as Águias se mantêm no ar".

Simba & AL

Laplace

   Laplace nasceu em França em Beaumont-en-Auge a 23 de março de 1749 tendo falecido em Paris, a 5 de março de 1827.
  Pierre Simon, Marquis de Laplace, foi um matemático, astrónomo e físico que organizou a astronomia matemática, ampliando o trabalho dos seus predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica Celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido por mecânica física.
   Laplace formulou também a equação de Laplace; esta formula é conhecida em todos os ramos da física matemática. Ele é nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (por vezes, é chamado de Newton francês ou Newton da França) com uma fenomenal capacidade matemática natural sem comparação com alguém daquela época.

Número mágico

      1089 é conhecido como o número mágico.

   Escolhe qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.

   Agora escreve este número de trás para frente e subtrai o menor do maior: 875 - 578 = 297

   Agora escreve este resultado também de trás para a frente e faz a soma: 297 + 792 = 1089

   Este numero "mágico" apenas funciona se forem usados 3 dígitos como por exemplo:

                          574 - 475 = 099

                          099 + 990 = 1089

Desafios

Quantos quadrados consegues ver nesta imagem?

SOLUÇÃO

PELO GRUPO:

Funções (resumo)

  Função é uma correspondência unívoca entre dois conjuntos; há uma relação entre cada um dos seus elementos. Também se pode designar por: a cada objeto (x) corresponde uma só imagem (y), também denotada por ƒ(x).

 Existem vários tipos de funções matemáticas, entre as quais: Função Linear (Função de Proporcionalidade Directa), Função Constante e Função Afim. 
  Função Linear: num referencial cartesiano, a reta passa sempre na origem do mesmo; sendo a sua expressão algébrica f(x)= k x.

      Função Constante: num referencial cartesiano, a reta está posicionada na horizontal em relação ao referencial, isto é, é uma reta paralela ao eixo Ox; sendo a sua expressão algébrica f(x)= b.

  Função Afim: num referencial cartesiano, a reta não passa pela origem do mesmo; sendo a sua expressão algébrica f(x)= k x+b.

PELO GRUPO:

3 Curiosidades

1ª Curiosidade: 

2ª Curiosidade: 

3ª Curiosidade: 

PELO GRUPO:

Teorema de Pitágoras

   O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados dos triângulos retângulos.

   A hipotenusa do triângulo é o lado oposto ao ângulo reto que é formado pelos lados perpendiculares do triângulo denominados - catetos.

   Existem duas formas de calcular a hipotenusa:

1ª hipótese: hipotenusa ao quadrado é igual a soma de cada um dos catetos ao quadrado.

2ª hipótese: nos triângulos retângulos, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

   Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:

                                                     

   onde c representa a hipotenusa, e a e b representam os dois catetos do triângulo retângulo.

                             

PELO GRUPO: