Ficha 2

Ficha 2

Ângulos

   As retas a e b são paralelas. 

   Quanto mede o ângulo î? 

   Comenta o resultado.

                                                    

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Matemático numa viagem de avião

  Porque é que um matemático viaja sempre com uma meia preta e outra cor de rosa?

  Porque a probabilidade de uma avião cair com um matemático usando meias de cores diferentes é muito pequena.

Maior número primo de Fermat

   O recorde do maior número primo de Fermat conhecido é o seguinte: 16717632768+1, que tem 171153 dígitos e foi descoberto por Yves Gallot (este é o oitavo maior número primo conhecido atualmente).

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

O matemático e o motorista

   Um matemático estava a caminho de uma conferência, quando o seu motorista comentou:
- Patrão, já ouvi tantas vezes a sua palestra que tenho certeza de que poderia fazê-la no seu lugar.
- Isso é impossível!
- Quer apostar?!
   E fizeram a aposta! Trocaram de roupa e, quando chegaram ao local da conferência, o motorista foi para a tribuna enquanto o matemático se instalou na última fila, como se fosse o seu motorista.
   Depois da palestra, começou a sessão de perguntas, que ele respondeu com precisão.

   No final, levantou-se um sujeito que apresentou uma questão dificílima. Com muita calma, ele respondeu:
- Meu jovem, essa pergunta é tão fácil... mas, tão fácil... que vou pedir para o meu motorista responder!

Ficha 3

Ficha 3

Data histórica: 20/02/2002

   Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milénio.

    Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

   É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

   A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). 

    Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 

   Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Números triangulares

Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. 

Porque:

                                                     

Os números triangulares podem ser calculados através de duas fórmulas: a iterativa e a recursiva:

Fórmula iterativa

T(n) = 1+2+3+...+n

Fórmula recursiva

T(1) = 1

T(n+1) = T(n)+(n+1)

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Humor matemático

Números regulares

Um número é dito regular se a sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

Exemplo:

60 é um número regular, pois 60= 2²x3x5

Uma curiosidade com 3 algarismos

Escolhe um número de três algarismos:

ex: 748

Repete este número na frente do mesmo:

748748

Divide-o por 13:

748748/13 = 57596

Agora divide o resultado por 11:

57596/11 = 5236

Divide novamente o resultado, mas por 7:

5236/7 = 748

Como podes ver vai dar exatamente o mesmo resultado do inicio.

O cavalo e o burro

Problema:

''Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando cada um cargas bastante pesadas.

  Lamentava-se o cavalo do seu pesado fardo, ao que o interrompeu o burro:

  - De que te queixas ?

  - Se eu ficasse com um dos teus sacos, a minha carga passaria a ser o dobro da tua . 

  - Por outro lado, se eu te desse um saco, a tua carga igualaria a minha.

    Quantos sacos levavam o cavalo e o burro?''

Sugestão:

Resolve o sistema e diz o teu resultado nos comentários.

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

Humor matemático

Duas loiras conversam:

- Sabes quem eu vi?

- Quem?

- O meu professor de Matemática.

- E gostavas dele?

- Gostava, mas um dia por causa dele estraguei as minhas unhas numa árvore! 

- Então porquê?

- Porque mandou-me encontrar a raiz quadrada.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Quadrados perfeitos e suas raizes

   Os pares de quadrados perfeitos: 144 e 441, 169 e 961, 14884 e 48841 e as suas respetivas raízes:12 e 21, 13 e 31, 122 e 221, são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa.

   O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade. Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla:

                   1238769 e 9678321 sendo as suas raízes 1113 e 3111.

Anti-Viadutas<3+Viaduto<3

Números Capicua

   Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. 

   Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, tantas vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo: 84

                84+48=132;132+231=363, que é um número capicua. 

Como ainda os números: 

Anti-Viadutas <3+Viaduto<3

Eudoxo de Cnido

   Eudoxo de Cnido foi um astrónomo, matemático e filósofo grego. 

   Nasceu em 408 a.C e faleceu em 355 a.C. 

   Eudoxo é considerado como o maior dos matemáticos gregos clássicos. Ele desenvolveu o Método da exaustão de Antífona, um precursor do cálculo integral.

   Na aplicação do método, Eudoxo provou afirmações matemáticas, tais como: as áreas dos círculos estão relacionadas entre si como os quadrados dos seus raios; os volumes das esferas estão relacionados entre si como os cubos dos seus raios; o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura; o volume de um cone é um terço da base do seu cilindro correspondente.

AltF4_96

A teoria do 11

New York City tem 11 letras.

Afeganistão tem 11 letras.

‘The Pentagon’ tem 11 letras.

Coincidência? O interessante é que...

- Nova Iorque é o estado n.º 11 dos EUA.

- O primeiro dos vôos que embateu contra as Torres Gémeas era o n.º 11.

- O voo n.º 11 levava a bordo 92 passageiros; somando os algarismos dá: 9+2=11. 

- O outro voo que bateu contra as Torres, levava a bordo 65 passageiros; somando os algarismos dá: 6+5=11. 

- A tragédia teve lugar a 11 de setembro, ou seja, 11 do 9; somando os algarismos dá: 1+1+9=11.

- As vítimas totais que faleceram nos aviões são 254: 2+5+4=11.

- A partir do 11 de setembro sobram 111 dias até ao fim de um ano.

- O atentado de Madrid aconteceu 911 dias depois do de New York; somando os algarismos dá: 9+1+1=11.

Será mesmo coincidência?
Pelo grupo:

Ficha 2

Ficha 2                                                               
                                             
                                                                         

O número 12345679

   Se multiplicarmos o número 12345679 por qualquer múltiplo de 9, entre 9 e 81 (inclusive), iremos obter um produto cujo algarismo que se repete é o próprio multiplicador dividido por 9. 

12345679 x 9 = 111.111.111 (9 / 9 = 1)

12345679 x 18 = 222.222.222 (18 / 9 = 2)

12345679 x 27 = 333.333.333 (27 / 9 = 3)

12345679 x 36 = 444.444.444 (36 / 9 = 4)

12345679 x 45 = 555.555.555 (45 / 9 = 5)

12345679 x 54 = 666.666.666 (54 / 9 = 6)

12345679 x 63 = 777.777.777 (63 / 9 = 7)

12345679 x 72 = 888.888.888 (72 / 9 = 8)

12345679 x 81 = 999.999.999 (81 / 9 = 9)

Cayley

   Arthur Cayley (Richmond, 16 de agosto de 1821 - Cambridge, 26 de janeiro de 1895) foi um matemático britânico.
   Desde cedo demonstrou um grande gosto e habilidade em cálculo numérico; Cayley resolvia complexos problemas de matemática por diversão.
  Aos 17 anos entrou no Trinity College, Cambridge, quando se destacou em grego, francês, alemão e italiano; tão bem quanto em matemática.
  Aos 20 anos Cayley contribuiu com três artigos referentes aos temas Mécanique analytique de Lagrange e a alguns dos trabalhos de Laplace para o Jornal de Matemática de Cambridge criado por Gregory e Robert Leslie Ellis.
   Foi Professor Sadleiriano de Matemática Pura na Universidade de Cambridge, entre 1863 e 1895.
  As suas contribuições incluem a multiplicação de matrizes e o teorema de Cayley. Ajudou também a desenvolver o Teorema de Cayley-Hamilton.
   Foi o primeiro a definir o conceito de conjunto de forma moderna.  

Anti-Viadutas <3 + Viaduto <3

D'Alembert

                                              

  Matemático e filósofo francês, Jean Le Rond d'Alembert nasceu em 1717, em Paris, e morreu em 1783, na mesma cidade.
  Com doze anos frequentou o colégio das Quatro Nações, causando admiração aos mestres pela sua facilidade na especulação filosófica. Recusou dedicar-se à Teologia e preferiu estudar Direito. Descobriu depois a sua vocação para a matemática.
   Em 1739 ingressou na Academia das Ciências. Dois anos depois foi nomeado adjunto na secção de astronomia. Foi nomeado geómetra associado em 1746 e titular em 1765. 

  Em 1752 estabeleceu equações acerca do movimento dos fluidos. Descobriu a solução de uma equação de derivadas parciais e propôs um método de resolução de sistemas de equações diferenciais. As pesquisas no campo da mecânica e da astronomia representaram um contributo fundamental para o avanço da ciência. 

   Teve um papel fundamental na difusão das novas ideias sem, no entanto, mostrar qualquer agressividade na sua exposição. Fiel ao seu apego a uma determinada atitude mental, foi este o espírito que utilizou na sua colaboração no projeto da Enciclopédia, dirigida por Denis Diderot. Ali D'Alembert não se limitou a escrever e a rever os artigos sobre matemática, como também redigiu o discurso preliminar e o prefácio. O projeto da Enciclopédia contou também com a colaboração de Voltaire e Montesquieu.                                             

Euler

  Nascimento: 15 de abril de 1707 , Basileia.

  Morte: 18 de setembro de 1783 , São Petersburgo. 

  Leonhard Euler revolucionou quase toda a Matemática no século XVIII. Escreveu quase 800 livros com várias informações que seriam estudadas no futuro, como por exemplo, a teoria dos grafos que possibilitou o aparecimento da topologia e revolucionou também o cálculo e as funções, ao resolver um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Konigsberg, antiga Prússia. 

  Euler ficou cego aos 50 anos e os seus textos passaram a ser produzidos pelo seu filho enquanto Euler os ditava. Muitos Matemáticos avaliam que o seu trabalho ficou muito melhor após a perda da sua visão. 

 O matemático François Arago elogiou o trabalho de Euler dizendo que este calculava sem qualquer esforço: "como os Homens respiram e as Águias se mantêm no ar".

Simba & AL

Laplace

   Laplace nasceu em França em Beaumont-en-Auge a 23 de março de 1749 tendo falecido em Paris, a 5 de março de 1827.
  Pierre Simon, Marquis de Laplace, foi um matemático, astrónomo e físico que organizou a astronomia matemática, ampliando o trabalho dos seus predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica Celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido por mecânica física.
   Laplace formulou também a equação de Laplace; esta formula é conhecida em todos os ramos da física matemática. Ele é nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (por vezes, é chamado de Newton francês ou Newton da França) com uma fenomenal capacidade matemática natural sem comparação com alguém daquela época.

Número mágico

      1089 é conhecido como o número mágico.

   Escolhe qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.

   Agora escreve este número de trás para frente e subtrai o menor do maior: 875 - 578 = 297

   Agora escreve este resultado também de trás para a frente e faz a soma: 297 + 792 = 1089

   Este numero "mágico" apenas funciona se forem usados 3 dígitos como por exemplo:

                          574 - 475 = 099

                          099 + 990 = 1089

Desafios

Quantos quadrados consegues ver nesta imagem?

SOLUÇÃO

PELO GRUPO:

Funções (resumo)

  Função é uma correspondência unívoca entre dois conjuntos; há uma relação entre cada um dos seus elementos. Também se pode designar por: a cada objeto (x) corresponde uma só imagem (y), também denotada por ƒ(x).

 Existem vários tipos de funções matemáticas, entre as quais: Função Linear (Função de Proporcionalidade Directa), Função Constante e Função Afim. 
  Função Linear: num referencial cartesiano, a reta passa sempre na origem do mesmo; sendo a sua expressão algébrica f(x)= k x.

      Função Constante: num referencial cartesiano, a reta está posicionada na horizontal em relação ao referencial, isto é, é uma reta paralela ao eixo Ox; sendo a sua expressão algébrica f(x)= b.

  Função Afim: num referencial cartesiano, a reta não passa pela origem do mesmo; sendo a sua expressão algébrica f(x)= k x+b.

PELO GRUPO:

3 Curiosidades

1ª Curiosidade: 

2ª Curiosidade: 

3ª Curiosidade: 

PELO GRUPO:

Teorema de Pitágoras

   O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados dos triângulos retângulos.

   A hipotenusa do triângulo é o lado oposto ao ângulo reto que é formado pelos lados perpendiculares do triângulo denominados - catetos.

   Existem duas formas de calcular a hipotenusa:

1ª hipótese: hipotenusa ao quadrado é igual a soma de cada um dos catetos ao quadrado.

2ª hipótese: nos triângulos retângulos, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

   Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:

                                                     

   onde c representa a hipotenusa, e a e b representam os dois catetos do triângulo retângulo.

                             

PELO GRUPO:

Pitágoras

   A vida de Pitágoras é uma incógnita, pois são poucas as coisas que se podem afirmar sobre ele, mas é certo que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos e pensa-se que tenha falecido entre 497 ou 496 a.C em Metaponto.

   Pitágoras fundou uma escola mística e filosófica em colónias gregas na península itálica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental, sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

  Os alunos de Pitágoras interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número é sinónimo de harmonia, constituído pela soma de números pares e de números ímpares. Os números pares e ímpares expressam as relações que se encontram em permanente processo de mutação; eram considerados como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e eram a base da teoria da harmonia das esferas.

  Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys. Este número era visto como um número misterioso uma vez que tinha os quatro elementos: fogo, água, ar e terra: 

10=1 + 2 + 3 + 4, que servia de representação para o todo.

   Pitágoras também ficou conhecido pelo domínio da geometria - relação entre os lados do triângulo retângulo, dando origem ao Teorema de Pitágoras (hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos dois catetos ao quadrado).  

PELO GRUPO:

Tales de Mileto

   Tales de Mileto foi um filosofo, matemático, engenheiro, homem de negócios e astrónomo da Grécia Antiga; foi o primeiro filósofo ocidental de que se tem conhecimento. Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga.
   Nasceu por volta de 623 a.C ou 624 a.C. em Mileto, uma antiga colónia da Grécia, onde é atualmente a Turquia, e faleceu por volta de 546 a.C. ou 548 a.C .

    No Naturalismo esboçou o que podemos citar como os primeiros passos do pensamento teórico evolucionista: "o mundo evoluiu da água por processos naturais". 
    Tales foi o primeiro a explicar o eclipse solar, ao verificar que a Lua é iluminada por esse astro. Segundo Heródoto, ele teria previsto um eclipse solar em 585 a.C. Segundo Aristóteles, tal feito marca o momento em que começa a filosofia. Se Tales aparece como o iniciador da filosofia, é porque o seu esforço em procurar o princípio único da explicação do mundo não só constituiu o ideal da filosofia como também forneceu impulso para o próprio desenvolvimento da mesma.

   Tales também é conhecido como “Pai da Geometria Descritiva”, após contribuição, não somente nesse campo, mas em muitas outras extensões da matemática.

Além da matemática, Tales contribuiu, com os seus estudos, para o desenvolvimento da Astronomia e da Filosofia. Supõe-se, ainda, que viveu durante um tempo no Egito, onde foi convocado para calcular a altura de uma pirâmide, realizando o cálculo com êxito e ficando muito famoso. Para realizar esse calculo, Tales utilizou o que hoje conhecemos como o Teorema de Tales. 

Os Alentejanos

Pedro Nunes

   Pedro Nunes foi um matemático português nascido em 1502 em Alcácer do Sal e faleceu a 11 de agosto de 1578, em Coimbra. Foi um dos maiores matemáticos do seu tempo. Pedro Nunes contribuiu bastante para o desenvolvimento da navegação teórica e resolveu problemas matemáticos da cartografia.

   Foi o inventor de alguns instrumentos de medição, como por exemplo o anel náutico, o instrumento de sombras e o nónio, que servia para melhorar a precisão dos instrumentos. Muito do seu trabalho está ligado à navegação. Em Tratado em Defesa da Carta de Marear afirmou que uma carta náutica deveria ter circunferências paralelas e meridianos como retas. Para além disso Pedro Nunes desenvolveu métodos para determinar a posição dos navios e desenvolveu métodos de calcular a latitude e corrigir os desvios das agulhas magnéticas.

 Pedro Nunes era um apoiante do Modelo Geocêntrico de Ptolomeu, mas quando Copérnico desenvolveu o seu Modelo Heliocêntrico, Pedro Nunes apenas afirmou ser matematicamente correto. Ele também resolveu o problema de encontrar o dia com o menor crepúsculo, para qualquer posição, bem como a sua duração.

  Pedro Nunes escreveu também Livro de algebra en arithmetica y geometria. Esta obra tornou-se polémica devido ao facto de ter sido escrita em castelhano, língua dos maiores inimigos portugueses nos domínios marítimos.

Os Alentejanos

Descartes

   René Descartes foi um filósofo, físico e matemático francês. Nasceu em La Haya en Touraine no dia 31 de março de 1596 e viria a falecer a 11 de fevereiro de 1650 em Estocolmo. 

  Notabilizou-se, sobretudo pelos seus trabalhos na filosofia e na ciência, mas também obteve reconhecimento na matemática por sugerir a fusão da álgebra com a geometria, o que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas. 
  Descartes é um dos grandes matemáticos de todos os tempos; foi um dos fundadores da geometria analítica - a geometria passou a beneficiar da linguagem da análise, mais fácil de manejar e, por outro lado, a análise ganhou com o suporte intuitivo fornecido pela geometria.

   Foi no decorrer do ano de 1637 que Descartes concluiu o Discurso do Método acompanhado de três anexos, o último dos quais A Geometria. Escrita com a intenção de ilustrar matematicamente as considerações filosóficas gerais do Discurso do Método relativamente ao método científico, A Geometria é a única obra matemática publicada pelo filósofo e matemático, ocupando uma centena de páginas.

   Os Alentejanos

Einstein

   Albert Einstein nasceu no dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha.
  Einstein desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados. Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana.
   Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades.
  Um dos grandes trabalhos de Einstein em 1905, foi "Sobre a Electrodinâmica dos Corpos em Movimento"; continha o que se tornou conhecido como a Teoria Especial da Relatividade. Desde a época do Matemático e Físico inglês Isaac Newton, os filósofos naturais (como os físicos e químicos eram conhecidos) tentavam compreender a natureza da matéria e da radiação e como elas interagiam. Não existia uma explicação consistente para o modo como a radiação (a luz, por exemplo) e a matéria interagiam quando vistas de referenciais inerciais diferentes, isto é, uma interacção vista simultaneamente por um observador em repouso e um observador movendo-se com velocidade constante.
   Einstein ganhou o Prémio Nobel de Física, em 1921, pelo seu estudo do campo fotoelétrico, e não pela teoria da relatividade, ainda controvertida. A sua visita a qualquer parte do mundo tornava-se um evento nacional; fotógrafos e repórteres seguiam-no em qualquer lugar.
   Quando a morte de Einstein foi anunciada em 1955, a notícia apareceu nas primeiras páginas dos jornais de todo o mundo: "Morreu um dos maiores homens do século 20".

Anti-Viadutas+Viaduto <3 

Arquimedes

    O matemático Arquimedes nasceu em 287 a.C. e morreu a 212 a.C. Era também físico, engenheiro, inventor e astrónomo grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica.

    O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças, alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro a notar a relação constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π (pi).

    Arquimedes também era inventor. Entre os seus grandiosos trabalhos estão o parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o aperfeiçoamento da catapulta.

    Arquimedes é frequentemente considerado o maior matemático da antiguidade e um dos maiores de todos os tempos (ao lado de Newton, Euler e Gauss, outros grandes físicos e matemáticos).

    No campo da Física, ele contribuiu para a fundação da Hidrostática, tendo feito, entre outras descobertas, o famoso princípio que leva o seu nome. Ele descobriu ainda o princípio da alavanca e a ele é atribuída a citação: "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".

PELO GRUPO:

   

Desafios

A figura seguinte é composta por  fósforos que formam  quadrados geometricamente iguais entre si:

Retira  fósforos de forma a obter apenas  quadrados geometricamente iguais entre si.

Solução

Humor matemático

Ângulos

Fichas

Ficha 1

Fichas

Ficha 1